1. Древнегреческая нумерация. В древнейшее время в Греции была распространена так называемая аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались чёрточками . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "пи", с которой начинается слово "пенте" — пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались . Число 10 обозначалось (начальной буквой слова "дека" — десять). Числа 100, 1000 и 10 000 обозначались — начальными буквами соответствующих слов. Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000, а именно . Остальные числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:

и так далее. В третьем веке до н. э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1—9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита [буквы (фау), (коппа), (сампи) отсутствуют в нынешнем греческом алфавите]:

числа 10, 20, 30, ..., 90 — следующими девятью буквами:

Для обозначений тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами с добавлением особого значка ' сбоку: и так далее. Для отличия цифр от букв, составляющих слова, писали чёрточки над цифрами. Примеры: и так далее. Такую же алфавитную нумерацию имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. Неизвестно, у какого народа она возникла впервые.

2. Славянская нумерация. Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе и у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок ("титло"), изображённый в приводимой здесь таблице. При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иной). В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация", которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах.

3. Древнеармянская и древнегрузинская нумерация. Армяне и грузины пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения букв следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах. Алфавитная нумерация преобладала до 18 века, хотя "арабская нумерация" употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше (в грузинской литературе такие случаи восходят к 10—11 веку; в памятниках армянской математической литературы они установлены пока только для 15 века). В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и тому подобное. В Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления.

4. Вавилонская поместная нумерация. В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, то есть такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация — тоже поместная: в числе 52 цифра 5 обозначает пятьдесят, то есть 5•10, а в числе 576 та же цифра обозначает пятьсот, то есть 5•10•10. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число 10, играло число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка . Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например,

Способ обозначения чисел, больших 60, показан на следующих примерах: запись обозначала 5•60 + 2 = 302, подобно тому как наша запись 52 обозначает 5•10 + 2. Запись

обозначала число 21•60 + 35 = 1295. Следующая запись

обозначала 1•60•60 + 2•60 + 5 = 3725, подобно тому как у нас запись 125 означает 1•100 + 2•10 + 5. При отсутствии промежуточного разряда употреблялся знак , игравший роль нуля. Так, запись обозначала 2•60•60 + 0•60 + 3 = 7203. Но отсутствие низшего разряда не обозначалось; например, число 180 = 3•60 изображалось записью , то есть так же, как число 3. Та же запись могла обозначать и число 10 800 = 3•60•60 и так далее. Различать друг от друга числа 3, 180, 10 800 и так далее можно было только по смыслу текста. Запись могла также означать 3/60, 3/(60•60)=3/3600, 3/(60•60•60)=3/216000 и так далее, подобно тому, как числа 3/10, 3/(10•10)=3/100, 3/(10•10•10)=3/1000 и так далее мы обозначаем в системе десятичных дробей с помощью цифры 3. Но мы отличаем эти дроби друг от друга, проставляя нули перед цифрой 3, и пишем 3/10=0,3; 3/100=0,03; 3/1000=0,003 и так далее. В вавилонской же нумерации эти нули не обозначались. Наряду с шестидесятиричной системой нумерации вавилоняне пользовались и десятичной системой, но она не была поместной. В ней, кроме знаков для 1 и 10, существовали следующие знаки: для 100 , для 1000 и 10 000 . Числа 200, 300 и так далее записывались знаками и так далее. Таким же способом записывались числа 2000, 3000 и так далее, 20 000, 30 000 и так далее. Число 274 записывалось так:

число 2068 писалось так:

и так далее. Шестидесятиричная система возникла позднее десятичной, ибо числа до 60 записываются в ней по десятичному принципу. Но до сих пор неизвестно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятиричная система. На этот счёт строилось много гипотез, но ни одна пока не доказана. Шестидесятиричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но шестидесятиричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Ближнего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, то есть до начала 17 века. Следы шестидесятиричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

5. Римские цифры. Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени по именем "римской нумерации". Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для наименования конференций, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и так далее. В позднейшем своём виде римские цифры выглядят так:

I = 1, V = 5, X =10, L = 50, C = 100, D =500, M = 1000.

Прежде они имели несколько иную форму. Так, число 1000 изображалось знаком , а 500 — знаком . О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра X могла составиться из двух пятёрок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот). В римской нумерации явственно сказываются следы пятиричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятиричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (весьма вероятно — у этрусков). Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведённых цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. (В наименованиях двух числительных 18 и 19 латинский язык сохранил этот принцип вычитания, об этом см. "Десятичная система счисления".) Например, VI = 6, то есть 5 + 1, IV = 4, то есть 5 — 1, XL = 40, то есть 50 — 10, LX = 60, то есть 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трёх раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается XC (а не LXXXX). Примеры: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы — до 16 века.

6. Индийская поместная нумерация. В различных областях Индии существовали разнообразные системы нумерации. Одна из них распространилась по всему миру и в настоящее время является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке — санскрите (алфавит "деванагари"). Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, ..., 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Впоследствии был введён особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующего разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация "деванагари" превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился это переход — до сих пор неизвестно. К середине 8 века позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение. Примерно в это время она проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, на территорию Средней Азии, в Иран и другие страны). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале 9 века узбекским учёным Мухаммедом из Хорезма. (Этот замечательный учёный является также основоположником алгебры. Свои работы Мухаммед писал на арабском языке, который был на Востоке международным научным языком, каким в Западной Европе был латинский язык. Отсюда — арабизированное имя аль-Хваризми [Хорезмиец], под которым Мухаммед был известен в истории.) Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в 12 веке. В 13 веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах Западной Европы она утверждается в 16 веке. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли её "арабской". Это исторически неправильное название к сожалению удерживается и поныне. Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово употреблялось для наименования знака пустующего разряда и этот смысл сохраняло ещё в 18 веке, хотя уже в 15 веке появился латинский термин "нуль" (nullum — ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в 16 веке.